Delta Hedging mit dem Black-Scholes-Modell

Test des Hedgingansatzes von Black/Scholes bei diskreten Portfolioanpassungen

Black und Scholes gehen bei ihrer dynamischen Hedgingstrategie von einer stetigen Anpassung ihres Portfolios aus. In der Realität können Hedgingportfolien aufgrund von Börsenöffnungszeiten und Transaktionskosten nicht stetig angepaßt werden. Im folgenden soll daher untersucht werden, inwieweit der Hedgingansatz von Black/Scholes noch bei diskreter Anpassung des Portfolios risikolos ist.

Aktienkursmodellierung

Für kleine Zeitintervalle (Δt ≤ 0.02 Jahre) läßt sich die Aktienkursentwicklung als Random Walk mit Drift modellieren
    ,    
wobei  ε eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist. Es wird angenommen, daß die Volatilität bei 20 Prozent und der Drift bei 13 Prozent liegt. Die Laufzeit der Option soll 0.4 Jahre betragen, der Kurs der Aktie zum Beginn der Hedgingperiode sei 49 Euro.  Δt wird gesetzt als 1/2500.

Nach einer Periode Δt ergibt sich der neue Kurs  als
    

In Mathematica kann dieses Modell für die Kursentwicklung mit NestList modelliert werden als

Um für jeden Zeitpunkte einen Aktienkurs definiert zu haben, wird über die Liste der Kurse interpoliert.

Bewertungsfunktion  für Kaufoptionen

Beispiel zum Delta Hedging

Ein Händler verkauft eine Kaufoption über 100000 Aktien mit einem Strike von 50. Die Shortposition soll durch Kassapositionen in Aktien und Geldmarktanlagen bzw. -aufnahmen gehedgt werden. Der für den Händler geltende Zinssatz für Geldmarktanlagen und -aufnahmen sei 5 %.

Der Black/Scholes-Wert der verkauften Kaufoption ist

Im folgenden wird der Aufbau der risikolosen Hedgingstrategie bezogen auf die oben simulierten Aktienkurse aufgezeigt.
Nach Black/Scholes ist das risikolose Hedgingportfolio bestimmt als .  Die Laufzeit der Option, τ,  wird in zwanzig Subperioden unterteilt, an deren Ende eine Anpassung des Hedgingportfolios möglich sein soll

Der Verzinsung der Geldmarktanlage bzw. der -aufnahme für eine Subperiodes ergibt sich dann als

Die sind durch die Optionspreisformel bestimmt als

Damit ergeben sich als Deltas für die einzelnen Perioden die Werte

Das in einer Periode zur Anpassung des Hedges zu handelnde Volumen, die Handelsstrategie , ergibt sich als die Differenz zwischen zwei Delta-Werten, nachdem der Hedge zu Beginn der Hedgingperiode aufgebaut ist.

Das Volumen multipliziert mit dem jeweiligen Kurs der Aktie in einer Periode ergibt den Finanzierungsbedarf, bzw. die Anlagemöglichkeit innerhalb einer Periode.

Das gesamte zu finanzierende oder anzulegende Volumen ergibt sich als kumulierte Summe der einzelnen Perioden. Da die Beträge finanziert werden müssen oder angelegt werden können, sind noch Zinsen miteinzurechnen.

Am Ende der Laufzeit ergibt sich der Wert der Option für den Käufer als

Die Position des Hedgers in Aktien ist

Die kumulierten Finanzierungsbeträge und -kosten am Ende der Hedgingperiode sind der letzte Wert der Liste der kumulierten Kosten. Die gesamte Position des Händlers ist damit

Der Verkaufspreis für die Option kann über die n Perioden angelegt werden. Insgesamt ergibt sich damit ein Betrag von

für den Händler. Im theoretischen Modell müßte dieser Betrag gleich Null sein.

Übungen

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Performance des Delta Hedgings als für fünf verschiedene Aktienkursentwicklungen.
Tip: Speichern Sie die 5 verschiedenen Aktienkursverläufe unter verschiedenen Namen für die interpolierte Funktion ab.

Aufgabe 2

Untersuchen Sie die Performance des Delta Hedgings in Abhängigkeit von unterschiedlichen Anpassungshäufigkeiten des Hedgeportfolios.

Literatur

Black, Fischer/Scholes, Myron:The pricing of Commodity Contracts, in: Journal of Financial Economics, 3/1976, S. 167-179.
Duffie, Darrel: Dynamic Asset Pricing Theory, 2. Auflage, 1996.
Hull, John: Options, futures, and other derivatives, 3. Auflage, 1997.

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